Elastic Block Store(EBS)をデフォルトサイズの8GBで使っていたため、早々に容量の拡張が必要になりました。
EBSの拡張はやり方さえ知っていれば簡単ですので、下記に手順を記載します。

インスタンスの停止

AWSのサービスからEC2へ遷移します。EC2の 左メニューから［インスタンス］を選択し、インスタンスページに移動します。
インスタンスの一覧が表示されるので、EBSを拡張したいインスタンスを右クリックし、［インスタンスを停止］を選択。
少し待つとインスタンスが停止されます。

スナップショットの作成

左メニューから［Elastic Block Store］-［ボリューム］を選択し、ボリュームページに移動します。
拡張したいEBSを右クリックして［スナップショットの作成］を選択してスナップショットを作成します。
名前などは任意のもので構いません。

新しいEBSの作成

左メニューから［Elastic Block Store］-［スナップショット］を選択し、スナップショットページに移動します。
先程作成したスナップショットが作成中なので、完了するまで待ちます。
作成されたスナップショットを右クリックして［ボリュームの作成］を選択し、希望の容量でEBSを作成します。

現在のEBSをインスタンスから外す

左メニューから再び［Elastic Block Store］-［ボリューム］を選択し、ボリュームページページに移動します。
新しいEBSが確認できたら、拡張したいインスタンスで使用ている現在のEBSを右クリックして［ボリュームのデタッチ］を選択します。

新しいEBSをインスタンスに結びつける

新しいEBSを右クリックして［ボリュームのアタッチ］を選択します。
設定画面が現れるので、Instancesでは拡張したいインスタンスを選び、Deviceは[/dev/sda1]と入力します。

インスタンスのスタート

EC2の 左メニューから［インスタンス］を選択し、インスタンスページに移動します。
拡張したインスタンスを右クリックして［インスタンスを開始］を選択し、起動を確認します。

リサイズ

起動したインスタンスのサーバーへSSHで接続します。
root権限でresize2fsを実行します。

resize2fs /dev/sda1

以上でEBSの拡張作業は終了です。